viernes, 3 de diciembre de 2010

FUNDAMENTOS DE LA MATEMATICA



Los fundamentos de las matemáticas es un termino que a veces usado  para ciertos campos de las  matemáticas, como la lógica  matemática, teoría de conjuntos  axiomática, teoría de prueba, teoría de modelos y la teoría de recursividad, la búsqueda de fundamentos  de las matemáticas  es también una pregunta  central  de la filosofía de las matemáticas  ¿en cual ultima base puede un fundamento  matemático ser verdad?
FUNDAMENTO FILOSOFICOS DE LAS MATEMATICAS
Las tres filosofías:
·         Platonismos: platinista, como Kurt Godel (1906-1978), sostienen que los números son abstractos, objetos necesariamente existentes, independientes de la mente humana.
·         Formalismo: formalistas, como David Hilbart (1852-1943), sostienen que las matemáticas no son ni mas ni menos que un lenguaje matemático. Son  simplemente una serie de juegos
·         Intuicionismo: intuicionista, como L. E. J.  Brouwer (1882 – 1966), sostienen  que las matemáticas  son una creación de la mente humana los números como personajes de cuentos de hadas, son simplemente entidades mentales, que no existían sin que nunca hubieran algunas  mentes humanas que pensaran en ellos.
Platonismo
La filosofía fundamental del realismo matemático platónico, ejemplificado por  el matemático  Kurt Godel, propone la existencia del mundo de los objetos matemáticos independiente de los seres humanos; las verdades de estos objetos  son descubiertos por seres humanos. Con este punto de vista las leyes de las matemáticas  tienen una posición similar y la efectividad  deja de ser irrazonable no nuestros axiomas pero el verdadero mundo de los objetos matemáticos constituye el fundamento.  La pregunta obvia entonces es: ¿Cómo entramos en ese mundo?

Formalismo
La filosofía fundamental del formalismo ejemplificado por David Hilbert, está basado en la teoría axiomatica de los conjuntos y la lógica formal, prácticamente todos los teoremas matemáticos actualmente pueden ser formulados como teoremas de la teoría de los conjuntos la verdad de un enunciado matemático, en este punto de vista, no es nada mas que la reclamación de que el enunciado puede ser derivado de los axiomas de la teoría de los conjuntos usando las reglas de la lógica formal.
Solo el uso del formalismo no explica varias cuestiones: porque debemos usar axiomas que hacemos y no otros, porque debemos emplear las reglas de la lógica que hacemos y no otras, porque enunciados matemáticos verdaderos (como leyes de la aritmética) parecen ser verdad, etc.
En algunos casos esto puede ser suficientemente contestado a través del estudio de las teorías formales, en disciplinas como las matemáticas reversas y la teoría de complejidad computacional.

Los sistemas lógicos formales también pueden correr el riesgo de la incoherencia con Peano aritmética, esto posiblemente se ha establecido con varias pruebas de coherencia, pero hay un debate sobre si son los suficientemente significativas el segundo teorema incompleto de Gödel  establece que los sistemas lógicos de la aritmética no pueden contener una prueba valida de su propia coherencia.  Lo que Hilbert quería hacer era probar un sistema lógico S  que fuera coherente,  basados en los principios P que solo es formado por una pequeña parte de S  pero Gödel comprobó que los principios P no podían ni siquiera comprobar que P fuera coherente por no hablar de solo S.
Intuicionismo
La filosofía fundamental del intuicionismo o constructivismo ejemplificado al extremo por Brower y con mas coherencia por Stephen Kleene, requiere pruebas para ser “constructivo” en la naturaleza- la existencia de un objeto puede ser demostrado, mas no inferido de una demostración de la imposibilidad de su inexistencia por ejemplo, como una consecuencia de esta forma de prueba conocida como reducción al absurdo es sospechoso.
Algunas teorías modernas en la filosofía de las matemáticas niegan la existencia de los fundamentos en su sentido original.  Algunas teorías tienden a enfocarse en la práctica matemática, y a tener como objetivo el describir y analizar el verdadero trabajo de los matemáticos, como un grupo social otros tratan de crear una ciencia cognitiva a las matemáticas, enfocándose en la cognición humana como el origen de la confiabilidad en las matemáticas cuando son aplicadas al mundo real, estas teorías pueden proponer la búsqueda de fundamentos solo en el pensamiento humano, no en ningún objetivo afuera de la construcción.  Este asunto se mantiene en discusión.

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